«Шотландська книга» — львівська математична реліквія

Математика — найпрекрасніший і найпотужніший винахід людського духу. Математика така ж давня, як і сама людина.

У одному з солідних наукових журналів США професор Львівського національного університету Михайло Зарічний, що два роки викладав у престижному американському університеті, прочитав, що між двома світовими війнами в Європі були три математичні столиці: Париж, Геттінген і Львів. Це, поза сумнівом, деяке перебільшення, оскільки математика розвивалася не лише там. Значні результати були отримані в Москві, Ленінграді, Харкові, Берліні, Кембріджі, Варшаві й Кракові, а також за океаном. Досить пригадати видатних американських математиків Джорджа Біркхофа і Норберта Вінера — творця нової науки кібернетики. Проте згадка українського міста в американському журналі не випадкова. Це данина величезної пошани і визнання заслуг Львівської математичної школи.

Це був період формування нової математики, який ознаменувався появою в ній розділів, що сильно відрізняються від класичного аналізу, елементи якого є фундаментом освіти не лише математиків, але й фізиків, інженерів, а тепер біологів, істориків і літераторів. Визначний радянський математик Андрій Колмогоров довго вагався у виборі професії. Його сильно вабила історія. У 1920 р. у віці 17 років він зробив доповідь на семінарі професора Сергія Бахрушина про новгородське феодальне землеволодіння. Під час аналізу писцевих книг він використав елементи теорії відносності — науки, аксіоматику якої у майбутньому створив Колмогоров. Професор Бахрушин, схваливши результати, зазначив проте, що висновки юного дослідника не можуть претендувати на остаточні, оскільки «в історичній науці кожен висновок має бути обѓрунтований кількома доказами». Історик не міг уявити, що математичний апарат, використаний Колмогоровим, дає однозначні відповіді та додаткових підтверджень не потребує. Розчарований, як згадував майбутній великий математик, «вирішив піти в науку, в якій для остаточного висновку достатньо було одного доказу». За свідченням історика та археолога академіка Валентина Яніна: «Історія назавжди втратила геніального дослідника, а математика отримала його». З урахуванням політичної ситуації в СРСР пощастило не лише математиці, але й Колмогорову. Ще невідомо, як склалася його доля, якби він усе-таки обрав історію. У 1929 — 1931 рр. Бахрушин разом із академіками Тарле, Ліхачовим, Любавським і багатьма іншими істориками були фігурантами так званої «Академічної справи», а потім справи Промпартії. Доля багатьох із них була трагічною.

У XIX і на початку XX століття в математиці домінували дві школи: французька і німецька. Два видатні математики — Анрі Пуанкаре і Давид Гільберт заклали основи її сучасного виду. У працях першого з’явилася нова математична дисципліна — топологія, другий завдяки своїм фундаментальним працям із теорії інваріантів-величин, що не змінюються при перетвореннях, наприклад, площа, енергія, потужність — опинився на провідних позиціях світової математики. У 1900 р. на II Міжнародному математичному конгресі в Парижі він сформулював список 23 нерозв’язаних проблем математики — проблем Гільберта. Вони стали основним напрямком зусиль математиків з того часу. Деякі проблеми Гільберта не вирішені до сьогодні.

Після Першої світової війни в математиці бурхливо розвиваються нові розділи — теорія множин, топологія, теорія вірогідності, теорія груп, тензорний аналіз. У першу чергу це було пов’язане з потребами фізики: теорії відносності та квантової механіки, а також розвитком обчислювальної техніки. Але не слід думати, що математика це своєрідна прислужниця інших наук. Це примітивний підхід комуністичних вождів і пропагандистів, який застосовувався проти радянських математиків. Насправді наука розвивається за своїми власними законами. Проте навіть найабстрактніші розділи математики завжди знаходять використання. Коли в працях російського вченого Миколи Лобачевського, угорського Яноша Больяї, німецьких Карла Гаусса і Бернгарда Рімана створювалася неевклідова геометрія, до речі, сам Лобачевський називав її «уявною», ніхто не міг припустити, що настільки абстрактна наука знайде використання і підтвердження в теорії відносності, а також в астрономії й астрофізиці.

Так склалося, що у Львові на початку 1920-х рр. зібралася велика група талановитих математиків. Перелік їхніх імен — золотий список цієї науки. Серед них зірками першої величини були Гуго Штейнхауз і Стефан Банах. Обох поєднували не лише наукові інтереси, а й тривала особиста дружба.

Стефан Банах, після встановлення в 1939 р. радянської влади його називали Степаном Степановичем, народився 30 березня 1892 р. у Кракові в сім’ї Стефана Гречека і Катаржини Банах. Батьки походили з провінції Подгалє в південній частині Польщі. Сім’я була настільки бідною, що утримувати дитину не могла, тому юні роки Стефан провів у бабусі, матері батька. Про матір батько ніколи не розповідав, незважаючи на неодноразові прохання сина. Проте їй він обіцяв надати можливість сину закінчити гімназію. Математичні здібності проиявилися ще під час навчання, але обдарованим учнем не вважався. Вважався дитиною зі звичайними здібностями. Напевно, позначилася система викладання, що не розкривала здібностей і схильностей учнів. На жаль, Банах у цьому плані був не самотній. Хоча можна навести і протилежні приклади.

Для продовження освіти Банах приїхав до Львова, де вступив до Політехнічного інституту. Доводилося не стільки вчитися, скільки заробляти собі на життя. Лише у 1914 р. йому вдалося скласти іспити на так званий «напівдиплом» про закінчення двох курсів. На цьому його формальна освіта завершилася. Роки Першої світової війни Банах провів у Кракові, займаючись репетиторством. Не дуже зрозуміло, якою була б його доля як математика, якби б не Його Величність випадок.

Навесні 1916 р., прогулюючись вуличками прекрасного міста, Гуго Штейнхауз, якому тоді було 29 років, а він уже був відомим ученим, почув бесіду двох юнаків. Його увагу привернули слова «міра Лебега й інтеграл Лебега». У той час обговорення таких проблем свідчило про серйозні знання нових розділів математики. Юнаками виявилися Стефан Банах і Отто Никодим, теж майбутній відомий математик, що жив і працював у Львові. У своїх спогадах Гуго Штейнхауз писав, що «найбільшим відкриттям його життя став Стефан Банах». Завдання, яке перед молодим математиком поставив Гуго, було розв’язане і представлене науковому світу у вигляді статті двох авторів. За рекомендацією Штейнхауза, 1920 р. професор Львівської політехніки Антон Ломницький запросив Банаха асистентом на кафедру математики. Того ж року він написав докторську дисертацію з функціонального аналізу. З 1922 р. Стефан Банах починає працювати у Львівському університеті. Спочатку надзвичайним (екстраординарним) професором, а потім — звичайним (ординарним) професором. І це, незважаючи на те, що він не мав закінченої вищої освіти. У цей час і сам Штейнхауз разом із професорами Є. Жилинським і С. Рузевичем викладав там. 1924 р. Стефан Банах був обраний членом-кореспондентом Польської академії наук, а пізніше членом-кореспондентом АН України.

Як згадував польський і американський математик Станіслав Улам, «живі» уявлення про математиків він отримав у 1926 р. на публічних лекціях у Львові, які читали Штейнхауз, Рузевич, Банах та ін. Самому Уламу тоді було 16 років, але його вразила молодість уже відомих учених. У його уявленні професори математики мали бути сивими літніми людьми. Відкрийте будь-який підручник або монографію з функціонального аналізу — розділ математики, в якому вивчаються нескінченномірні простори (в основному простори функцій) і їхні відображення, і буквально на кожній сторінці ви зустрінете «простір Банаха», «оператор Банаха», «теорему Хана-Банаха», «теорему Штейнхауза-Банаха», всього і не перерахувати. Його методи та ідеї надзвичайно сильно вплинули на розвиток цього найважливішого розділу математики. Вони не лише не втратили свого значення у наш час, а навпаки, набувають усе більшого значення. Класична робота Банаха «Теорія лінійних операцій» була видана польською мовою 1931 р., 1933 р. — французькою, а 1948 року під назвою «Курс функціонального аналізу» — українською. Російською мовою відомий його курс «Дифференциальное и интегральное исчисление», 1966 р.

Уже того мінімуму, що ми перерахували, цілком достатньо, щоб ім’я Банаха ввійшло до історії науки. Але не меншою його заслугою стало те, що довкола нього і Штейнхауза сформувалася унікальна співдружність львівських і не лише математиків — Львівська математична школа.

Із нею пов’язаний унікальний і хвилюючий епізод із життя великих учених. Як згадував Станіслав Улам, вони збиралися спочатку неподалік від університету в Римському кафе. Грали в шахи, пили каву й пиво, але головне — розмірковували про математику. Формули записували хімічними олівцями на поверхнях столиків. Уже в Америці Улам запровадив такий же самий звичай, коли працював у Лос-Аламосі. Лише замість столиків у кафе вони писали на дошках крейдою. Господарю таке використання обладнання не подобалося, тому компанія перебралася в «Шотландську кав’ярню» (Kawiarnia Szkocka) навпроти. Кав’ярня знаходилася на вулиці Академічній, нині проспект Шевченка. Вона не збереглася, тепер у цьому приміщенні Universal bank. Шкода, що таке історичне місце не відзначене меморіальною дошкою. Місто Львів має чим пишатися.

У «Шотландській кав’ярні» історія повторилася. Хімічні олівці псували мармурові столики, на що господар кафе поскаржився дружині Банаха пані Луції. Чи то вона, чи то сам пан Стефан придбав і приніс у кафе велику конторську книгу. У радянські часи такі називалися комірними. На непарних сторінках формулювалися нерозв’язані завдання, а навпроти, на парній сторінці їх розв’язання. Причому обговорення і розв’язання відбувалися також у кафе. Одного дня математики говорили понад 17 годин безперервно, настільки їх захопило розв’язання одного із завдань. Книга отримала назву Шотландської. Коли кав’ярня зачинялася, книгу передавали господареві, який дуже дбайливо до неї ставився. Напевно, розумів її історичну цінність.

Штейнхауз розповідав, що стіл, за яким сиділи Банах з Уламом, був в центрі кав’ярні. Обговорювали все — від театральних постановок до міжнародного становища. Щоб поговорити з ними, часто приходив відомий математик Казимир Куратовський, який у 1927 — 1933 рр. викладав у Львівській політехніці. Його найвизначніші результати були отримані в топології (вкладення Куратовського, віяло Кластера — Куратовського, теорема Куратовського). Щоб обговорити з колегами найважливіші проблеми, спеціально до Львова приїжджав засновник варшавської математичної школи Вацлав Серпінський і видатний математик Джон (Янош) фон Нейман.

Саме у кафе було отримано доведення теореми Банаха. На жаль, Шотландської книги ще не було, доведення було записане на поверхні столика і стерте швейцаром. Поки що ніхто не може його відновити. Така ж сама доля спіткала багато інших важливих результатів, отриманих Банахом і його учнями. З одного боку, їм не вистачало часу записувати теореми та їх доведення. З іншого, розв’язане завдання втрачало привабливість, але породжувало нову проблему і всі намагалися її вирішити. Основним було усне спілкування, статті та пріоритети — вторинне. Коли з’явилася книга, ситуація стала більш упорядкованою.

Як винагорода за розв’язання дуже складного завдання пропонувалися, наприклад, п’ять маленьких кухлів пива, вино, вечеря в ресторані фешенебельного готелю «Жорж», а за найскладніше, запропоноване близьким другом Банаха — Станіславом Мазуром, автор пообіцяв гусака... Цю проблему (під номером 153 від 6 листопада 1936 р.) вирішив лише 1972 року шведський математик Пер Енфло, він же і отримав у Варшаві обіцяну винагороду. Призового гусака йому приготувала дружина польського математика Жиляско.

Усього в «Шотландській книзі» було зафіксовано 193 математичні проблеми. Банах записав там 14 завдань (іще 11 спільно з Мазуром і Уламом), Улам — 40 (плюс 15 загальних), Мазур — 24 (іще 19 загальних). Перший запис був зроблений 17 липня 1935 р., а останній 31 березня (за даними Улама, 31 травня) 1941 р. До речі, цей запис під номером 193 містить набір не дуже зрозумілих результатів за підписом Штейнхауза, пов’язаних із розподілом кількості сірників у коробці. Це завдання народилося з, на перший погляд, побутової проблеми. Банах був завзятим курцем. Щоб не шукати сірника, він у лівій і правій кишенях тримав по коробці, які діставав випадково. Виникло завдання: яка вірогідність того, що коли в одній коробці закінчаться сірники, в другій їх залишиться к штук, в загальнішому випадку — не менше к штук. Розв’язання завдання не таке просте, як здається на перший погляд. Не випадково записи Штейнхауза досить важко було розібрати. Цікаво, що це одне з перших завдань, яке призвело до виникнення нової математичної дисципліни — теорії масового обслуговування. Подібні завдання зустрічаються в теорії ігор, у фізиці, у теорії алгоритмів, математичній лінгвістиці, електроенергетиці й так далі. У великих усе так. Навіть їхні побутові проблеми сприяють рухові науки вперед.

У «Шотландській кав’ярні» часто бував український математик Мирон Зарицький. Його наукові інтереси охоплювали проблеми теорії множин, алгебру логіки і теорії функцій дійсного змінного. Крім того, він залишив праці з історії науки: «Астрономія в давнину» (1935 р., польською мовою), хрестоматія грецької математики (1936 р., польською мовою), стаття «Зауваження до проблеми наближених обчислень у грецькій математиці» (1947 р.). Володів іноземними мовами: крім української, польської, німецької (які знав кожен львівський інтелігент), також французькою, ідиш, іврит. Друкував свої статті італійською та іспанською мовами. Саме він 1948 р. переклав із французької українською «Курс функціонального аналізу» Банаха.

Коли влітку 1939 р. Улам востаннє був у Львові, він тоді вже працював у Гарварді, з Мазуром обговорювалася ймовірність початку нової війни. Мазур сказав: «Мабуть, почнеться війна. Що ми робитимемо з Шотландською книгою і нашими неопублікованими роботами? Ти їдеш до Сполучених Штатів і, ймовірно, будеш у безпеці. Якщо місто бомбитимуть, я покладу книгу і рукописи в ящик і зарию його в землю». Тоді ж вони домовилися, що він зариє ящик біля воріт на футбольному полі. Тривалий час книга вважалася втраченою, але син Банаха її знайшов і 1957 р. копію переслав Уламу. Той зробив переклад англійською мовою і представив на Математичному конгресі в 1958 р., де вона стала сенсацією. Традиції Шотландської книги продовжуються. З 1945 р. у ній робляться нові записи.

Після війни оригінал книги перейшов до дружини Банаха, а пізніше — синові. У 1980-х рр. вона була передана до Інституту математики Польської академії наук і зберігається в центрі Банаха. 1981 р. з’явилася її друга, відредагована версія, в якій відображається стан внесених до книги математичних проблем, їх розвиток і рішення за наступні роки. Видання доповнене історичними коментарями.

Коли Червона армія зайняла Львів, на математиків це мало вплинуло. Лекції можна було читати польською, українською, російською мовами. Але наказали між кафедрами розпочати соціалістичне змагання за кількість нових формул, публікацій, винаходів. У математичних книгах стали обов’язковими передмови, в яких ішлося про Сталіна, Маркса, Енгельса, Леніна та їхній великий внесок у функції, матриці, множини, в інтеграли і диференціали, n-мірні простори і так далі. Сталін — натхненник винахідників, всезнаючий геній у будь-якій галузі знань, мав бути визнаний найбільшим авторитетом і в математиці. «Ви не переймайтеся, у вас це лише зараз, а у нас усе життя так», — утішав Штейнхауза один із радянських математиків, який приїхав до Львова на конференцію. Як завжди, знайшлися і ті, хто почав співпрацювати з новою владою. Леон Хвістек, філософ і математик, із 1930 р. викладав у Львівському університеті й активно співробітничав з радянською владою, зокрема, з прорадянською газетою Czerwony Sztandar. Опублікував кілька текстів, що прославляють радянську владу і Сталіна. У червні 1941 р. евакуювався зі Львова разом із радянськими військами. 1941—1943 рр. викладав математику в Тбілісі, потім у Москві. Брав участь у роботі комуністичного Союзу польських патріотів. Помер 1944 р. у радянській столиці.

Розгром настав у період німецької окупації. Серед математиків було багато євреїв, і їхня доля була трагічною. З Банаха страшно знущалися. Його фашисти використовували як джерело крові для вошей. Так готували протитифозну вакцину. Після звільнення Банах знову став деканом математичного факультету, але в серпні 1945 р. помер. Похований на Личаківському кладовищі.

Наприкінці червня 1941 р. Штейнхауз віддає знайомим свій польський паспорт і перетворюється на селянина. Він змінює зовнішність так, щоб бути схожим на органіста костелу і переїжджає до розташованого під Львовом села Зимна Вода, а точніше, до найбільш безлюдної його частини — в Осичину. Там, разом із дружиною вони ведуть нужденне існування, проте, радіючи, що вдалося врятувати життя. Усю німецьку окупацію Штейнхауз проводить у селі, збираючи в лісі хмиз і не звертаючись до жодних органів. У нього немає продуктових карток, немає талонів на якісь товари першої необхідності. З 1943 р. він таємно дає уроки французької мови, географії і, звичайно ж, математики.

Штейнхауз війну пережив, проте втратив багато своїх родичів. А спадщина Львівської математичної школи відродилася у Варшаві й Вроцлаві. Штейнхауз згадував потім, що за радянського режиму він написав, власне, лише одну математичну роботу — через дурість радянських чиновників, при німцях же — жодної — через постійний страх за своє життя і примару знищення.

Усе пізнається в порівнянні. У період розквіту Львівської математичної школи, під час вільних дискусій математиків не лише з наукових проблемах, у Москві розгорталася трагедія радянської математики. На початку 1930-х рр. боролися з професором Єгоровим — єгоровщина. Через шість років настала черга його учня Миколи Лузіна. Катком прокотилася країною лузінщина. Станіслав Улам згадував, що на зустрічі в Цюріху майбутній академік Павло Александров запросив його побувати в Москві. Але радянське консульство у Львові не видало йому візу. Напевно, через співпрацю з «реакційним» професором Серпінським — другом Лузіна.

Львівська математична школа — це наша велика історія. Її творять не лише політики та полководці, а й великі вчені, хоча про їхні досягнення люди, на жаль, знають украй мало. Місто Івана Франка — воно і місто Стефана Банаха, і Гуго Штейнхауза. Вони — гордість України та Польщі. І нашої спільної історії.