Рідкісний випадок

Російський математик Григорій Перельман відмовився прийняти премію в 1 млн. дол. від Математичного інституту ім. Клея, приватної некомерційної організації, що розташована в Кембріджі, штат Массачусетс, за доведення гіпотези Пуанкаре. Випадок досить рідкісний. Премія не лише велика в грошовому еквіваленті, а й дуже престижна. Для відмови від неї мають бути досить вагомі підстави. Тим паче що не так давно Григорій Перельман вже відмовився від не менш престижної медалі Філдса, якою нагороджує Міжнародний математичний союз (IMU). За значимістю вона відповідає Нобелівській премії для фізиків або хіміків. Названо її на честь канадського математика і мецената Джона Філдса.

Уся ця історія зовні дуже нагадує детектив із несподіваними поворотами, боротьбою честолюбства і суперечок про пріоритет. У науці, у тому числі в математиці, це трапляється не менш часто, ніж, наприклад, у шоу-бізнесі. Тільки зазвичай стосується обмеженого кола людей і таких речей, розуміння яких доступне лише фахівцям. Але коли йдеться про великі суми грошей, то увага до таких проблем загострюється в сотні разів. Мабуть, лише проблеми коллайдера привертають більшу увагу, ніж хитромудрощі присуджень та відмов від престижних премій з математики.

Коли ми вивчаємо цю не багато ким улюблену науку в школі, а значною мірою й у вишах, виникає враження її застиглих і назавжди визначених форм. Нові розділи математики інженерам і тим більше гуманітаріям, наприклад економістам, викладають фрагментарно. Навіть фізики, які здебільшого використовують математичний апарат, вважають за краще не вдаватися в деталі. Великий учений Лев Ландау повторював, що «математичні тонкощі, довгі теореми існування, хитромудрі прийоми доведень нам (фізикам. — Авт.) нецікаві». Проте, як і в будь-якій науці, в математиці є багато невирішених, як кажуть фахівці, відкритих проблем. На початку минулого століття на одному з математичних конгресів великий німецький математик Давид Гільберт сформулював 23 відкриті проблеми, які отримали назву «Список Гільберта». Як казав німецький математик, основоположник теорії множин Георг Кантор, правильно сформульована задача — половина рішення. До кінця минулого століття практично всі завдання зі списку Гільберта було вирішено або намічені шляхи їх розв’язання. Ось чому інститут Клея 2000 р. сформулював свій список із семи недозволених проблем — Millenium Prize Problems. За рішення кожної з них і передбачалася премія в 1 млн. дол. До цих проблем належить і так звана гіпотеза Пуанкаре, яку й довів Григорій Перельман.

Французький вчений Анрі Пуанкаре був, імовірно, останнім математиком-енциклопедистом. Практично немає такого розділу цієї науки, в який він не зробив би величезного внеску. Займався Пуанкаре не лише математикою, а й небесною механікою, фізикою і математичною фізикою. Не всі знають, що саме він стояв біля витоків спеціальної теорії відносності. У своїй роботі «Вимір часу», написаній 1898 р., він за сім років до Ейнштейна сформулював принцип відносності, а потім запровадив у наукову реальність таке поняття, як чотиривимірний простір-час, теорію якого згодом розробив німецький математик Герман Мінковський. Сам Ейнштейн дуже довго заперечував будь-яке знайомство з працями Пуанкаре, хоча зустрічався з ним і не посилався на нього аж до початку 1920-х рр., проте все ж визнав заслуги французького математика.

Пуанкаре в чотирьох великих мемуарах — так тоді називали статті в спеціалізованих журналах — під загальною назвою «Про криві, визначені диференціальними рівняннями» започаткував розвиток особливого розділу математики — якісної теорії інтегрування диференціальних рівнянь. Особливість і важливість цієї частини математики для астрономії, небесної механіки, фізики і багатьох інженерних дисциплін, зокрема теорії автоматичного управління, електроенергетики і радіотехніки, полягає в тому, що вона дає можливість з вигляду рівняння зробити висновок про його корені та траєкторію їхнього руху за умови зміни коефіцієнтів. Саме це понад усе цікавить інженерів і фізиків.

Але Пуанкаре створив не лише цей розділ математики. Його заслуга полягає в тому, що, розвиваючи ідеї німецького вченого Бернхарда Рімана, він фактично створив нову науку, яку назвав Analysis situs — аналіз положення, тепер вона називається топологією. Як зазначив знаменитий фахівець, радянський математик Павло Александров, «на питання, яке відношення Пуанкаре має до топології, можна відповісти одним реченням — він її створив». Принципова відмінність топології від геометрії полягає в тому, що перша не оперує такими поняттями, як відстань, площа, рівність фігур тощо. Під кутом зору топології, куля і чашка однакові або гомеоморфні, оскільки можуть бути перетворені одна на одну шляхом стиснень чи розтягувань. Обмеження одне: за таких деформацій не має бути склеювань і розривів. З огляду на це куля і тор (у кулінарії — бублик) не гомеоморфні, оскільки не можуть бути топологічно перетворені одне на одне.

1904 року Пуанкаре висловив гіпотезу, що кожна тривимірна поверхня гомеоморфна щодо тривимірної сфери. При цьому «тривимірна поверхня» може розміщуватися в просторі, чия розмірність як мінімум — чотири. Тривимірна сфера — це поверхня чотиривимірної кулі. Звична нам розгортка кулі на площині — двомірна сфера — поверхня тривимірної кулі. Пуанкаре поширив це положення на «n» вимірів. Незважаючи на зовнішню позірну простоту, що є характерною рисою саме для трьох вимірів, доведення цієї гіпотези виявилося найскладнішим.

За умови топологічних змін тіл деякі їхні параметри залишаються постійними — інваріантними. Розвиваючи ці найважливіші поняття, Пуанкаре розробив теорію гомологій — особливого класу топологічних інваріантів. 1900 року він опублікував статтю, в якій доводив, що коли в тривимірної поверхні гомологія збігається з гомологією сфери, то й сама поверхня — сфера. Це твердження навіть сильніше, ніж твердження гіпотези Пуанкаре. Проте до його міркувань закралася помилка, яку він сам і знайшов, до 1904 року розробивши найважливіше поняття фундаментальної групи і побудувавши на його основі контрприклад до власної теореми. Тоді ж він нарешті поставив питання правильно. Сам Пуанкаре не просунувся в доказі своєї гіпотези, зазначивши cette question nous entrainerait trop loin — це питання відводить нас далеко вбік.

Російський математик Григорій Перельман відмовився прийняти премію в 1 млн. дол. від Математичного інституту ім. Клея, приватної некомерційної організації, що розташована в Кембріджі, штат Массачусетс, за доведення гіпотези Пуанкаре. Випадок досить рідкісний. Премія не лише велика в грошовому еквіваленті, а й дуже престижна. Для відмови від неї мають бути досить вагомі підстави. Тим паче що не так давно Григорій Перельман вже відмовився від не менш престижної медалі Філдса, якою нагороджує Міжнародний математичний союз (IMU). За значимістю вона відповідає Нобелівській премії для фізиків або хіміків. Названо її на честь канадського математика і мецената Джона Філдса.

Уся ця історія зовні дуже нагадує детектив із несподіваними поворотами, боротьбою честолюбства і суперечок про пріоритет. У науці, у тому числі в математиці, це трапляється не менш часто, ніж, наприклад, у шоу-бізнесі. Тільки зазвичай стосується обмеженого кола людей і таких речей, розуміння яких доступне лише фахівцям. Але коли йдеться про великі суми грошей, то увага до таких проблем загострюється в сотні разів. Мабуть, лише проблеми коллайдера привертають більшу увагу, ніж хитромудрощі присуджень та відмов від престижних премій з математики.

Коли ми вивчаємо цю не багато ким улюблену науку в школі, а значною мірою й у вишах, виникає враження її застиглих і назавжди визначених форм. Нові розділи математики інженерам і тим більше гуманітаріям, наприклад економістам, викладають фрагментарно. Навіть фізики, які здебільшого використовують математичний апарат, вважають за краще не вдаватися в деталі. Великий учений Лев Ландау повторював, що «математичні тонкощі, довгі теореми існування, хитромудрі прийоми доведень нам (фізикам. — Авт.) нецікаві». Проте, як і в будь-якій науці, в математиці є багато невирішених, як кажуть фахівці, відкритих проблем. На початку минулого століття на одному з математичних конгресів великий німецький математик Давид Гільберт сформулював 23 відкриті проблеми, які отримали назву «Список Гільберта». Як казав німецький математик, основоположник теорії множин Георг Кантор, правильно сформульована задача — половина рішення. До кінця минулого століття практично всі завдання зі списку Гільберта було вирішено або намічені шляхи їх розв’язання. Ось чому інститут Клея 2000 р. сформулював свій список із семи недозволених проблем — Millenium Prize Problems. За рішення кожної з них і передбачалася премія в 1 млн. дол. До цих проблем належить і так звана гіпотеза Пуанкаре, яку й довів Григорій Перельман.

Французький вчений Анрі Пуанкаре був, імовірно, останнім математиком-енциклопедистом. Практично немає такого розділу цієї науки, в який він не зробив би величезного внеску. Займався Пуанкаре не лише математикою, а й небесною механікою, фізикою і математичною фізикою. Не всі знають, що саме він стояв біля витоків спеціальної теорії відносності. У своїй роботі «Вимір часу», написаній 1898 р., він за сім років до Ейнштейна сформулював принцип відносності, а потім запровадив у наукову реальність таке поняття, як чотиривимірний простір-час, теорію якого згодом розробив німецький математик Герман Мінковський. Сам Ейнштейн дуже довго заперечував будь-яке знайомство з працями Пуанкаре, хоча зустрічався з ним і не посилався на нього аж до початку 1920-х рр., проте все ж визнав заслуги французького математика.

Пуанкаре в чотирьох великих мемуарах — так тоді називали статті в спеціалізованих журналах — під загальною назвою «Про криві, визначені диференціальними рівняннями» започаткував розвиток особливого розділу математики — якісної теорії інтегрування диференціальних рівнянь. Особливість і важливість цієї частини математики для астрономії, небесної механіки, фізики і багатьох інженерних дисциплін, зокрема теорії автоматичного управління, електроенергетики і радіотехніки, полягає в тому, що вона дає можливість з вигляду рівняння зробити висновок про його корені та траєкторію їхнього руху за умови зміни коефіцієнтів. Саме це понад усе цікавить інженерів і фізиків.

Але Пуанкаре створив не лише цей розділ математики. Його заслуга полягає в тому, що, розвиваючи ідеї німецького вченого Бернхарда Рімана, він фактично створив нову науку, яку назвав Analysis situs — аналіз положення, тепер вона називається топологією. Як зазначив знаменитий фахівець, радянський математик Павло Александров, «на питання, яке відношення Пуанкаре має до топології, можна відповісти одним реченням — він її створив». Принципова відмінність топології від геометрії полягає в тому, що перша не оперує такими поняттями, як відстань, площа, рівність фігур тощо. Під кутом зору топології, куля і чашка однакові або гомеоморфні, оскільки можуть бути перетворені одна на одну шляхом стиснень чи розтягувань. Обмеження одне: за таких деформацій не має бути склеювань і розривів. З огляду на це куля і тор (у кулінарії — бублик) не гомеоморфні, оскільки не можуть бути топологічно перетворені одне на одне.

1904 року Пуанкаре висловив гіпотезу, що кожна тривимірна поверхня гомеоморфна щодо тривимірної сфери. При цьому «тривимірна поверхня» може розміщуватися в просторі, чия розмірність як мінімум — чотири. Тривимірна сфера — це поверхня чотиривимірної кулі. Звична нам розгортка кулі на площині — двомірна сфера — поверхня тривимірної кулі. Пуанкаре поширив це положення на «n» вимірів. Незважаючи на зовнішню позірну простоту, що є характерною рисою саме для трьох вимірів, доведення цієї гіпотези виявилося найскладнішим.

За умови топологічних змін тіл деякі їхні параметри залишаються постійними — інваріантними. Розвиваючи ці найважливіші поняття, Пуанкаре розробив теорію гомологій — особливого класу топологічних інваріантів. 1900 року він опублікував статтю, в якій доводив, що коли в тривимірної поверхні гомологія збігається з гомологією сфери, то й сама поверхня — сфера. Це твердження навіть сильніше, ніж твердження гіпотези Пуанкаре. Проте до його міркувань закралася помилка, яку він сам і знайшов, до 1904 року розробивши найважливіше поняття фундаментальної групи і побудувавши на його основі контрприклад до власної теореми. Тоді ж він нарешті поставив питання правильно. Сам Пуанкаре не просунувся в доказі своєї гіпотези, зазначивши cette question nous entrainerait trop loin — це питання відводить нас далеко вбік.

Цікаво, що в цього блискучого науковця навіть помилки в доведеннях рухали науку. Так, похибка в його знаменитій праці про взаємодію трьох тіл привела до розвитку окремого розділу математики — теорії хаосу, що має велике значення для фізики й теорії систем. Помилка в теорії гомологій зумовила виникнення гіпотези, над доказом якої билися декілька поколінь математиків. Доведення гіпотези Пуанкаре прирівнювали до вирішення іншої фундаментальної проблеми — великої теореми Ферма.

Досить довго на гіпотезу не звертали уваги. Інтерес до неї виявив видатний англійський математик Генрі Вайтхед. Запропонований ним доказ 1930 р. виявився невірним. Проте в процесі роботи над ним і спроб виправити похибки він виявив особливі класи тривимірних поверхонь і значно просунув теорію, що пізніше отримала назву топології малої (або нижчих) розмірності. У 1950 і 1960-х роках з’явилося декілька заяв про те, що теорему вдалося довести, але детальний аналіз показав, що вони помилкові. Проте топологія нижчої розмірності стала окремою гілкою математики за дещо дивною причиною. Для чотирьох і більше розмірностей гіпотеза була доведена і перетворилася на теорему. Тривимірний же випадок залишався й надалі каменем спотикання. «Усе моє життя як математика проходило під знаком задачі Пуанкаре», — сказав Джон Морган, декан математичного факультету Колумбійського університету. «Я й подумати не міг, що мені доведеться побачити її розв’язання. Мені здавалося, що це не під силу нікому».

До цієї проблеми приєднується обчислювальна топологія. 1974 року було здійснено спробу вирішення проблеми Пуанкаре в її алгоритмічній версії. Цим завданням займався А. Фоменко зі своїми працівниками, який у майбутньому запропонував нову систему вираховування історичних дат.

Кожна тривимірна поверхня задається певним дискретним кодом — кінцевим набором символів. Одна й та сама поверхня має безкінечне число різних кодувань. Шукався алгоритм, що визначає за заданим кодовим словом, чи задає воно тривимірну сферу (алгоритмічна проблема Пуанкаре). Тоді було здійснено масштабний комп’ютерний експеримент. Було створено програму для машини БЕСМ-6, яка випадковим чином генерувала коди, що задають тривимірну сферу, і перевіряла, чи задають вони сферу. В експерименті було перевірено мільйон таких випадкових уявлень сфери та отримано позитивну відповідь. З погляду здорового глузду — цього досить для доведення. Але автори, як справжні математики, утримувалися від поспішних заяв. І недаремно — через два роки один з колишніх учнів Фоменка виявив контрприклад. Загальна ж проблема алгоритмічного розпізнавання поверхонь розмірності три відкрита. Для більш високих розмірностей відома її нерозв’язність, для розмірності два її було вирішено раніше. Виявилося, що звичний тривимірний простір влаштований дуже складно.

Григорій Перельман не збирався ставати математиком. Його батько, інженер-електрик, купував для нього популярні книжки для школярів і заохочував заняття сина в шкільному гуртку й місцевому будинку піонерів. 1982 р. Перельман отримав золоту медаль на міжнародній математичній олімпіаді в Будапешті. Його мати, викладач математики, в технікумі захоплювалася грою на скрипці й почала брати його із собою в оперу, коли йому було всього шість років. Усі свої кишенькові гроші хлопець витрачав на аудіо-записи знаменитих опер.

У 16 років Перельман вступив до Ленінградського університету, де почав займатися геометрією. На початку 1990-х рр. влаштувався на роботу до петербурзького відділення математичного інституту ім. Стєклова і став провідним фахівцем у галузі риманових просторів і просторів Александрова — узагальнення евклідової геометрії. Він публікує свої статті в провідних наукових журналах Росії й США. 1992 р. Перельмана запросили провести по семестру в Нью-Йоркському університеті й університеті Стоні Брук. Тоді ж він потрапив на лекцію Річарда Гамільтона. Американський математик розповідав про потоки Річчі — системи нелінійних диференціальних рівнянь, що описують теплопередачу та подібні до деформації двовимірних поверхонь. Найбільші складнощі полягали в тому, що під час деформації виникали особливості з нескінченною кривизною, аналогічні до певної міри чорним діркам в астрофізиці. Невипадково доказом Перельмана першими зацікавилися саме астрофізики й астрономи — так, на їхніх очах народжується настільки необхідний для їхньої роботи математичний апарат. Після лекції Перельман розмовляв із Гамільтоном. «Він усміхався й був дуже терплячим зі мною. Він навіть розповів мені кілька речей, які він опублікував лише через декілька років. Він без вагань ділився зі мною. Мені дуже сподобалися його відвертість і щедрість. Можу сказати, що в цьому Гамільтон був не схожим на більшість інших математиків». На це слід звернути увагу.

Після поїздки до США Перельман повернувся до Росії, де почав займатися розв’язанням проблеми особливостей потоків Річчі й доведенням гіпотези геометризації. До доказу гіпотези Пуанкаре він прийшов у процесі цієї роботи. Робив це він таємно від усіх. Навіть звільнився з інституту ім. Стєклова.

Свої результати доведення гіпотези Пуанкаре під ім’ям Гриша Перельман він опублікував у формі препринтів (короткий виклад публікації) на сайті славнозвісної Лос-Аламоської лабораторії наприкінці 2002 — початку 2003 р. Того ж року Перельман поїхав до США і прочитав там серію лекцій, присвячених доведенню теореми, після чого повернувся до Санкт-Петербурга. Науковий світ пережив шок. Посипалися пропозиції від провідних математичних журналів опублікувати повну статтю, але вони були проігноровані.

Перші результати перевірки ідей російського математика з’явилися 2006 р. Видатні геометри Брюс Кляйнер і Джон Лотт з Мічиганського університету опублікували препринт своєї роботи, що за розмірами більше нагадує книжку — 213 сторінок. У ній науковці ретельно перевірили всі викладення Перельмана, детально пояснивши різні твердження, які в роботі російського математика були лише побіжно позначені. Їхній висновок був однозначним: доказ абсолютно правильний.

Проте в цій історії стався несподіваний поворот. У журналі Asian Journal of Mathematics з’явилася стаття китайських математиків Сіпін Чжу, нині декана математичного факультету в університеті Сунь Ятсена, та Хуайдонг Као, нині професора університету Ліхай, під назвою «Повний доказ гіпотези геометризації Терстона і гіпотези Пуанкаре». У ній результати Перельмана розглядалися як важливі, але суто проміжні. Цю роботу ініціював Шинтан Яу, професор математики в Гарварді, директор математичних інститутів у Пекіні й Гонконгу та один з основоположників теорії Калабі-Яу, що започаткувала теорію струн. Імовірно, стаття з’явилася в цьому журналі невипадково. Саме Яу був його головним редактором. Після цього він почав їздити світом з популярними лекціями, розповідаючи про досягнення китайських математиків, усіляко замовчуючи внесок Перельмана й Гамільтона. Таке траплялося не раз: багато теорем, які відомі світові під іменами конкретних математиків, довели зовсім інші люди.

Проблема пріоритету завжди хвилювала математиків, як і вчених інших наук. Ерік Белл, автор відомої книжки «Люди математики», нарікав на «дрібні чвари з приводу пальми першості, що плямують історію науки». 1881 р. у Пуанкаре, який працював у Каннському університеті, стався конфлікт з Феліксом Клейном. Пуанкаре опублікував декілька статей, в яких описав певний клас функцій, назвавши їх «фуксовими» на честь іншого німецького математика. Клейн відіслав Пуанкаре листа, в якому зауважив, що й він сам, і деякі інші математики теж виконали значну роботу в дослідженні цих функцій. Між Пуанкаре і Клейном розпочалося ввічливе листування. Останніми словами Пуанкаре, виголошеними з цього приводу, була цитата з Гете: «Name ist Schall und Rauch», що в наближеному перекладі відповідає шекспірівському «Що в імені тобі моєму?».

Вочевидь, не дуже чиста гра довкола пріоритету в доведенні гіпотези Пуанкаре справила на Перельмана вкрай негативне враження. Особисто він в усьому цьому жодної участі не брав, але висновки зробив. Мабуть, цим пояснюється небажання приймати ще медаль Філдса, хоча президент Міжнародного математичного союзу сер Джон Болл особисто приїжджав до Санкт-Петербурга і протягом декількох годин переконував Перельмана прийняти винагороду. Той відмовився.

Те саме сталося і з премією Клея. Агентству Інтерфакс Перельман сказав: «Я відмовився. Ви знаєте, у мене було дуже багато причин і з одного, і з іншого боку. Тому я так довго вирішував. Якщо говорити зовсім коротко, то головна причина — це незгода з організованим математичним співтовариством. Мені не подобаються їхні рішення, я вважаю їх несправедливими. Я вважаю, що внесок у розв’язання цієї задачі американського математика Гамільтона нітрохи не менший, аніж мій».

Одна з проблем сучасної науки, зокрема математики, полягає в надмірній бюрократії, у складності оприлюднення отриманих результатів. Математиків стає дедалі більше, й це об’єктивний процес, пов’язаний з дедалі більшою математизацією практично всіх наук, навіть на перший погляд далеких від застосування кількісних методів у дослідженнях. А публікувати статті в «авторитетних виданнях» дедалі складніше. Особливо в разі проривних досліджень, що часто ставили під сумнів засади, які видавалися непорушними. Можливо, тому Перельман опублікував свої результати як препринт в електронному вигляді, оскільки такий процес найбільш демократичний і не потребує попереднього відгуку рецензентів.

Цікава реакція далеких від науки людей. Дослідний центр рекрутингового порталу SuperJob.ru провів соціологічне дослідження, під час якого 20% опитуваних зазначили, що вчений відмовився від 1 млн. дол. тому, що в нього «інша шкала цінностей», 13% респондентів вважають Перельмана «дивною людиною», переконаною, що «геній має бути голодним». На думку 9% учасників опитування, Григорія Перельмана «не хвилюють матеріальні блага, а цікавить лише наука». Ще 6% респондентів вважають, що математик «живе в іншому вимірі». 3% росіян передбачили, що Перельман «вищий за мирську метушню».

Прем’єр-міністр Росії Володимир Путін на щорічних зборах Російської Академії наук дав таку відповідь на численні скарги щодо недостатнього фінансування: «А от відомий Гриша Перельман без грошей узяв та опублікував в інтернеті доказ гіпотези Пуанкаре. Де гроші? Він навіть від грошей відмовляється. Ось ми намагаємося йому хоч якось... Але він і цих не бере». Лукавив прем’єр, адже навіть математикові для роботи в сучасних умовах гроші потрібні. Адже без поїздок Перельмана до США й зустрічей з відомими ученими навряд чи він досяг би успіху в своїх дослідженнях. Математики у вежі зі слонової кістки або філософи в бочці вже давно не проводять увесь свій час. Хоч серед них трапляються й такі, як Перельман. Його друг Михайло Громов, який працює у Франції в Інституті найвищих наукових досліджень і нещодавно сам був удостоєний престижної премії ім. Абеля, сказав: «Йому не потрібна була нічия допомога. Йому подобалося працювати самостійно. Він нагадує мені Ньютона — своєю одержимістю ідеєю, бажанням працювати самому, байдужістю до думки інших. Ньютон був просто нестерпним. Гриша, звісно, приємніша людина, але — абсолютно одержимий». Може, це новий тип ученого, хоч у чомусь і схожого на своїх великих попередників. Адже велика наука не терпить метушні й вирування дрібних пристрастей, далеких від неї.