Редкий случай

Российский математик Григорий Перельман отказался принять премию в 1 млн.долл., которую ему присудил Математический институт им. Клэя, частная некоммерческая организация, расположенная в Кембридже, штат Массачусетс, за доказательство гипотезы Пуанкаре. Случай довольно редкий: премия не только большая в денежном выражении, но и очень престижная. Для отказа от нее должны быть довольно веские основания. Кстати, не так давно Григорий Перельман уже отказался от не менее престижной медали Филдса, присуждаемой Международным математическим союзом (IMU). По значимости она соответствует Нобелевской премии для физиков или химиков. Названа она в честь канадского математика и мецената Джона Филдса.

Вся эта история внешне очень напоминает детектив с неожиданными поворотами, борьбой честолюбий и споров о приоритете. В науке, в том числе в математике, это случается не менее часто, чем, например, в шоу-бизнесе. Только обычно касается ограниченного круга людей и таких вещей, понимание которых доступно лишь специалистам. Но когда речь заходит о больших суммах денег, то внимание к таким проблемам обостряется в сотни раз. Пожалуй, только проблемы коллайдера привлекают большее внимание, чем хитросплетения присуждений и отказов от престижных премий по математике.

Когда мы изучаем эту многими не любимую науку в школе, а в значительной мере и в вузах, возникает впечатление ее застывших и навсегда определенных форм. Новые разделы математики инженерам, а тем более гуманитариям (например, экономистам) излагаются фрагментарно. Даже физики, в наибольшей степени использующие математический аппарат, предпочитают не вдаваться в детали. Великий ученый Лев Ландау неоднократно говорил, что «математические тонкости, длинные теоремы существования, хитроумные приемы доказательств нам (физикам. — Авт.) не интересны». Однако, как и в любой науке, в математике есть много нерешенных, как говорят специалисты — открытых проблем.

В начале прошлого века на одном из математических конгрессов великий немецкий математик Давид Гильберт сформулировал 23 открытых проблемы, получившие название «Список Гильберта». Как замечал немецкий математик, основоположник теории множеств Георг Кантор, правильно сформулированная задача — половина решения. К концу прошлого столетия практически все задачи из списка Гильберта были решены или намечены пути их решения. Вот почему институт Клэя в 2000 г. сформулировал свой список из семи неразрешенных проблем — Millenium Prize Problems. За решение каждой из них и полагалась премия в 1 млн.долл. Среди этих проблем и находится так называемая гипотеза Пуанкаре, которую доказал Григорий Перельман.

Французский ученый Анри Пуанкаре был, наверное, последним математиком-энциклопедистом. Практически нет такого раздела этой науки, в который он бы не внес огромный вклад. Занимался Пуанкаре не только математикой, но и небесной механикой, а также физикой и математической физикой. Не все знают, что именно он стоял у истоков специальной теории относительности. В своей работе «Измерение времени», написанной в 1898 г., он за семь лет до Эйнштейна сформулировал принцип относительности, а затем ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого впоследствии разработал немецкий математик Герман Минковский. Сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре, хотя встречался с ним, и не ссылался на него вплоть до начала 1920-х гг., однако все же признал заслуги французского математика.

Пуанкаре в четырех больших мемуарах (так тогда называли статьи в специализированных журналах) под общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» положил начало развитию особого раздела математики — качественной теории интегрирования дифференциальных уравнений. Особенность и важность этой части математики для астрономии, небесной механики, физики и многих инженерных дисциплин, в частности теории автоматического управления, электроэнергетики и радиотехники, состоит в том, что она дает возможность по виду уравнения судить о его корнях и траектории их движения при изменении коэффициентов. Именно это больше всего интересует инженеров и физиков.

Но Пуанкаре создал не только этот раздел математики. Его заслуга в том, что, развивая идеи немецкого ученого Бернхарда Римана, он фактически основал новую науку, которую назвал Analysis situs — анализ положения, теперь она называется топологией. Как сказал крупный советский математик Павел Александров, «на вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии, можно ответить одним предложением: он ее создал». Принципиальное отличие топологии от геометрии состоит в том, что первая не оперирует такими понятиями, как расстояние, площадь, равенство фигур и т.д. С точки зрения топологии шар и чашка одинаковы, или гомеоморфны, потому что могут быть преобразованы друг в друга путем сжатий или растяжений. Ограничение одно: при этих деформациях не должно быть склеиваний и разрывов. С этой точки зрения шар и тор (в кулинарии — бублик) не гомеоморфны, так как не могут быть топологически преобразованы друг в друга.

В 1904 г. Пуанкаре высказал гипотезу, что каждая трехмерная поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. При этом «трехмерная поверхность» может размещаться в пространстве, чья размерность как минимум четыре. Трехмерная сфера — это поверхность четырехмерного шара. Привычная нам развертка шара на плоскости — двухмерная сфера — поверхность трехмерного шара. Пуанкаре распространил это положение на n измерений. Несмотря на кажущуюся простоту, именно для трех измерений доказательство этой гипотезы оказалось самым сложным.

При топологических изменениях тел их некоторые параметры остаются постоянными — инвариантными. Развивая эти важнейшие понятия, Пуанкаре разработал теорию гомологий — особого класса топологических инвариантов. В 1900 г. он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность — сфера. Это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре. Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно. Сам Пуанкаре не продвинулся в доказательстве своей гипотезы, заметив: «Cette question nous entrainerait trop loin», — «Этот вопрос уводит нас далеко в сторону».

Интересно, что у этого блистательного ученого даже ошибки в доказательствах двигали науку. Так, погрешность в его знаменитом труде о взаимодействии трех тел привела к развитию отдельного раздела математики — теории хаоса, имеющей большое значение в физике и теории систем. Ошибка в теории гомологий привела к гипотезе, над доказательством которой билось несколько поколений математиков. Доказательство гипотезы Пуанкаре приравнивали к решению другой фундаментальной проблемы — великой теоремы Ферма.

Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил выдающийся английский математик Генри Уайтхед. Предложенное им в 30-е гг. доказательство оказалось неверным. Однако в процессе работы над ним и попыток исправить неточности он обнаружил особые классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В 1950-х и 1960-х гг. последовало несколько заявлений о том, что теорему удалось доказать, но детальный анализ показал, что они ошибочны. Тем не менее, топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по несколько странной причине. Для четырех и более размерностей гипотеза была доказана и превратилась в теорему. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения. «Вся моя жизнь, как математика, проходила под знаком задачи Пуанкаре, — сказал Джон Морган, декан математического факультета Колумбийского университета. — Я и подумать не мог, что мне доведется увидеть ее решение. Мне казалось, что это не под силу никому».

К этой проблеме примыкает вычислительная топология. В 1974 г. была предпринята попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии. Этой задачей занимался А. Фоменко со своими сотрудниками, в будущем предложивший новую систему исчисления исторических дат.

Каждая трехмерная поверхность задается некоторым дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Искался алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу (алгоритмическая проблема Пуанкаре). Тогда был поставлен масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла, задают ли они сферу. В эксперименте был проверен миллион таких случайных представлений сферы и получен положительный ответ. С точки зрения здравого смысла — достаточно для доказательства. Но авторы как настоящие математики воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно — через два года один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности три открыта. Для более высоких размерностей известна ее неразрешимость, для размерности два она была решена ранее. Оказалось, что привычное трехмерное пространство очень сложно устроено.

Григорий Перельман не думал становиться математиком. Его отец, инженер-электрик, подбирал для него популярные книги для школьников и поощрял занятия сына в школьном кружке и местном доме пионеров. В 1982 г. Перельман получил золотую медаль на международной математической олимпиаде в Будапеште. Его мать, преподаватель математики в техникуме, увлекалась игрой на скрипке и начала брать его с собой в оперу, когда ему было всего шесть лет. Все свои карманные деньги юноша тратил на аудиозаписи знаменитых опер.

В возрасте 16 лет Перельман поступил в Ленинградский университет, где начал заниматься геометрией. В начале 1990-х гг. устроился на работу в Петербургское отделение Математического института им. Стеклова и стал ведущим специалистом в области римановых пространств и пространств Александрова — обобщения эвклидовой геометрии. Он публикует свои статьи в ведущих научных журналах России и США. В 1992 г. Перельмана пригласили провести по семестру в Нью-Йоркском университете и университете Стони Брук. Тогда же он попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи — системе нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих теплопередачу и подобных деформированию двумерных поверхностей. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике. Не случайно доказательством Перельмана первыми заинтересовались именно астрофизики и астрономы, так как на их глазах рождается столь необходимый им математический аппарат. После лекции Перельман беседовал с Гамильтоном. «Он улыбался и был очень со мной терпелив. Он даже рассказал мне пару вещей, которые были им опубликованы лишь несколько лет спустя. Он не задумываясь делился со мной. Мне очень понравились его открытость и щедрость. Могу сказать, что в этом Гамильтон был не похож на большинство других математиков». Обратим на это внимание.

После поездки в США Перельман вернулся в Россию, где начал заниматься решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации. К доказательству гипотезы Пуанкаре он пришел в процессе этой работы. Делал он это втайне от всех. Даже уволился из института им. Стеклова...

Свои результаты по доказательству гипотезы Пуанкаре под именем Гриша Перельман опубликовал в виде препринтов (краткое изложение публикации) на сайте знаменитой Лос-Аламосской лаборатории в конце 2002 — начале 2003 г. В том же году Перельман поехал в США и прочел там серию лекций, посвященных доказательству теоремы, после чего вернулся в Санкт-Петербург. Научный мир испытал шок. Посыпались предложения от ведущих математических журналов опубликовать полную статью, но они были проигнорированы.

Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 г. Крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт своей работы, по размерам больше напоминающий книгу — 213 страниц. В ней ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Их вывод был однозначным: доказательство абсолютно верное.

Однако в этой истории случился неожиданный поворот. В журнале Asian Journal of Mathematics появилась статья китайских математиков Сипин Чжу, ныне декана математического факультета в университете Сунь Ятсена, и Хуайдонг Као, теперь профессора университета Лихай, под названием «Полное доказательство гипотезы геометризации Терстона и гипотезы Пуанкаре». В ней результаты Перельмана рассматривались как важные, но исключительно промежуточные. Данная работа была инициирована Шинтан Яу, профессором математики в Гарварде, директором математических институтов в Пекине и Гонконге и одним из основоположников теории Калаби-Яу, положившей начало теории струн. Надо полагать, что статья появилась в этом журнале не случайно. Именно Яу был его главным редактором. После этого он стал ездить по миру с популярными лекциями, рассказывая о достижениях китайских математиков, всячески замалчивая вклад Перельмана и Гамильтона. Такое случалось не раз — многие теоремы, носящие имена конкретных математиков, были доказаны совершенно другими людьми.

Проблема приоритета всегда волновала математиков, как и ученых других наук. Эрик Белл, автор известной книги «Люди математики», сокрушался о «мелких дрязгах по поводу пальмы первенства, пятнающих историю науки». В 1881 г. году у Пуанкаре, работавшего в Каннском университете, возник конфликт с Феликсом Клейном. Пуанкаре опубликовал несколько статей, в которых описал определенный класс функций, назвав их Фуксовыми, в честь другого немецкого математика. Клейн отправил Пуанкаре письмо, в котором отметил, что и он сам, и ряд других математиков тоже проделали значительную работу в исследовании этих функций. Между Пуанкаре и Клейном завязалась вежливая переписка. Последними словами Пуанкаре, произнесенными по этому поводу, была цитата из Гете «Name ist Schall und Rauch», что в приблизительном переводе соответствует шекспировскому «Что в имени тебе моем?».

Очевидно, не очень чистоплотная игра вокруг приоритета в доказательстве гипотезы Пуанкаре произвела на Перельмана крайне негативное впечатление. Лично он во всем этом никакого участия не принимал, но выводы сделал. Наверное, этим объясняется нежелание принимать еще медаль Филдса, хотя президент Международного математического союза сэр Джон Болл лично приезжал в Санкт-Петербург и в течение нескольких часов убеждал Перельмана принять награду. Тот отказался.

То же самое произошло и с премией Клэя. Агентству «Интерфакс» Перельман сказал: «Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой».

Одна из проблем современной науки, в том числе и математики, состоит в излишней бюрократии, в сложности опубликовать полученные результаты. Математиков становится все больше, и это объективный процесс, связанный со все большей математизацией практически всех наук, даже на первый взгляд далеких от применения количественных методов в исследованиях. А публиковать статьи в «авторитетных изданиях» все сложнее, особенно в случае прорывных исследований, часто ставивших под сомнение казавшиеся незыблемыми устои. Возможно, именно поэтому Перельман опубликовал свои результаты в виде препринта в электронном виде, так как такой процесс наиболее демократичный и не требует предварительного отзыва рецензентов.

Интересна реакция далеких от науки людей. Исследовательский центр рекрутингового портала SuperJob.ru провел социологическое исследование, во время которого 20% россиян посчитали, что ученый отказался от 1 млн.долл. по причине того, что у него «иная шкала ценностей», 13% респондентов считают Перельмана «странным человеком», который убежден, что «гений должен быть голодным». По мнению 9% участников опроса, Григория Перельмана «не волнуют материальные блага, а интересует только наука». Еще 6% респондентов полагают, что математик «живет в другом измерении». По 3% россиян предположили, что Перельман «выше мирской суеты».

Премьер-министр России Владимир Путин на ежегодном собрании Российской академии наук дал такой ответ на многочисленные жалобы на недостаточное финансирование: «А вот известный Гриша Перельман без денег взял и опубликовал в интернете доказательство гипотезы Пуанкаре... Где деньги? Он даже от денег отказывается. Вот мы пытаемся ему хоть как-то... Но он и эти не берет». Лукавил премьер, ведь даже математику для работы в современных условиях деньги нужны. Ведь без поездок Перельмана в США и встреч с известными учеными навряд ли бы он преуспел в своих исследованиях. Математики в башне из слоновой кости или философы в бочке уже давно не проводят все свое время, хотя среди них встречаются и такие, как Перельман. Его друг Михаил Громов, который работает во Франции, в Институте высших научных исследований, и недавно сам был удостоен престижной премии им. Абеля, сказал: «Ему не нужна была ничья помощь. Ему нравилось работать самостоятельно. Он напоминает мне Ньютона — своей одержимостью идеей, желанием работать одному, безразличием к мнению других людей. Ньютон был просто несносен. Гриша, конечно, более приятный человек, но — совершенно одержимый». Возможно, это новый тип ученого, хотя в чем-то и похожий на своих великих предшественников. Ведь большая наука не терпит суеты и кипения мелких страстей. Далеких от нее.